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공진 주파수와 공진 주파수에서의 각 회로 소자에 걸린 전압 구하기

공진 주파수와 공진 주파수에서의 각 회로 소자에 걸린 전압
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문제의 조건

  • 주어진 회로는 다음과 같은 구성 요소를 가지고 있습니다:
  • 저항 $R = 5[\Omega]$
  • 인덕턴스 $L = 25[mH]$
  • 커패시턴스 $C = 10[\mu F]$
  • 입력 전압: $V_s = 220 \angle 0^\circ [V]$

1. 공진 주파수($f_0$) 구하기

(1) RLC 회로의 임피던스($Z$) 식

주어진 RLC 직렬 회로의 임피던스 $Z$는 다음과 같습니다:

$$
Z = R + j\omega L + \frac{1}{j\omega C}
$$

위 식을 정리하면:

$$
Z = R + j\left( \omega L – \frac{1}{\omega C} \right) \, [\Omega]
$$

여기서 $\omega$는 각속도($\omega = 2\pi f$)입니다.

(2) 공진 조건

공진 상태에서는 허수부가 0이 되어야 하므로 다음 조건이 성립합니다:

$$
\omega L = \frac{1}{\omega C}
$$

이를 정리하여 공진 주파수($\omega_0$)를 구하면:

$$
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}
$$

그리고, 공진 주파수 $f_0$는 다음과 같이 구할 수 있습니다:

$$
f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}
$$

(3) 공진 주파수 $f_0$ 계산

주어진 $L = 25[mH]$와 $C = 10[\mu F]$ 값을 대입하여 공진 주파수를 구합니다:

$$
f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{0.025 \times 10 \times 10^{-6}}}
$$

$$
f_0 \approx 318.31 \, [Hz]
$$

따라서, 공진 주파수는:

$$
f_0 = 318.31 \, [Hz]
$$

2. 공진 주파수에서 각 소자에 걸리는 전압

(1) 공진 상태에서의 전류 $I_0$ 계산

공진 상태에서는 임피던스의 허수부가 0이므로, 회로의 공진 전류($I_0$)는 다음과 같습니다:

$$
I_0 = \frac{V_s}{R}
$$

주어진 $R = 5[\Omega]$, $V_s = 220[V]$을 대입하면:

$$
I_0 = \frac{220}{5} = 44[A]
$$

(2) 저항($R$)에 걸리는 전압 $V_R$

저항에 걸리는 전압 $V_R$는 다음과 같습니다:

$$
V_R = I_0 \times R
$$

따라서:

$$
V_R = 44 \times 5 = 220[V]
$$

(3) 인덕터($L$)에 걸리는 전압 $V_L$

인덕터에 걸리는 전압 $V_L$은 다음과 같습니다:

$$
V_L = I_0 \times \omega_0 L
$$

공진 주파수 $f_0 = 318.31[Hz]$일 때, $\omega_0 = 2\pi f_0 = 2\pi \times 318.31$을 사용하여 계산하면:

$$
V_L = 44 \times 2\pi \times 318.31 \times 0.025
$$

$$
V_L \approx j2200 \, [V]
$$

(4) 커패시터($C$)에 걸리는 전압 $V_C$

커패시터에 걸리는 전압 $V_C$는 다음과 같습니다:

$$
V_C = I_0 \times \frac{1}{\omega_0 C}
$$

공진 주파수 $f_0 = 318.31[Hz]$일 때, $\omega_0 = 2\pi f_0 = 2\pi \times 318.31$을 사용하여 계산하면:

$$
V_C = 44 \times \frac{1}{2\pi \times 318.31 \times 10 \times 10^{-6}}
$$

$$
V_C \approx j2200 \, [V]
$$

최종 결론

1. 공진 주파수 $f_0$:

$$
f_0 = 318.31 \, [Hz]
$$

2. 공진 상태에서의 각 소자에 걸리는 전압:

  • 저항($R$)에 걸리는 전압: $V_R = 220[V]$
  • 인덕터($L$)에 걸리는 전압: $V_L = j2200[V]$
  • 커패시터($C$)에 걸리는 전압: $V_C = j2200[V]$
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