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수차의 설계와 성능 예측에 중요한 개념 중 하나인 기하학적 상사와 비속도에 대해 설명합니다. 실제 수차와 모형 수차 간의 유사성을 유지하기 위해 필요한 기하학적 조건과 비속도의 정의를 살펴봅니다.
1. 비속도 (Specific Speed)
1) 비속도의 정의
비속도는 수차가 특정 조건(낙차와 출력)에서 회전할 때 유량과 출력의 비율을 통해 정해지는 고유한 속도입니다. 기하학적으로 유사한 모형 수차에서 낙차가 $1\ m$이고 출력이 $1\ kW$일 때 필요한 1분간 회전수를 나타냅니다.
$$
N_s = \frac{N \sqrt{P}}{H^{5/4}}
$$
여기서:
- $N$: 회전수 (rpm)
- $P$: 출력 (kW)
- $H$: 낙차 (m)
비속도를 통해 다양한 크기의 수차 설계와 성능 예측을 할 수 있습니다.
2) 비속도의 조건과 계산
기하학적 상사 조건 하에 실제 수차와 모형 수차의 성능을 비교하기 위해 필요한 변수들을 아래 표와 같이 정리할 수 있습니다.
| 항목 | 실제 수차 | 모형 수차 |
|---|---|---|
| 레이놀즈 수 | $V_1 = k H_1^{1/2}$ | $V_2 = k H_2^{1/2}$ |
| 유량 | $Q_1 = k D_1^2 V_1$ | $Q_2 = k D_2^2 V_2$ |
| 출력 | $P_1 = k Q_1 H_1$ | $P_2 = k Q_2 H_2$ |
| 회전수 | $N_1 = k D_1 V_1$ | $N_2 = k D_2 V_2$ |
이러한 조건을 통해 실제 수차와 모형 수차 간의 여러 요소를 비교할 수 있습니다.
2. 비속도의 응용
1) 속도의 비교
실제 수차와 모형 수차의 속도를 비교해 보면 다음과 같이 정리됩니다.
$$
\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{H_1}{H_2} \right)^{1/2}
$$
2) 유량의 비교
유량을 비교해 보면 다음과 같은 관계식이 성립합니다.
$$
\frac{Q_1}{Q_2} = \left( \frac{D_1}{D_2} \right)^2 \left( \frac{H_1}{H_2} \right)^{1/2}
$$
3) 출력의 비교
출력의 경우, 다음과 같은 식으로 비교할 수 있습니다.
$$
\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{D_1}{D_2} \right)^2 \left( \frac{H_1}{H_2} \right)^{3/2}
$$
4) 회전수의 비교
회전수는 아래와 같이 계산됩니다.
$$
\frac{N_1}{N_2} = \left( \frac{P_1}{P_2} \right)^{1/2} \left( \frac{H_1}{H_2} \right)^{5/4}
$$
5) 비속도의 최종 정리
비속도의 정의에 따라 실제 수차와 기하학적으로 동일한 모형 수차를 설정하여, 수차의 낙차 $H$와 출력 $P$를 기준으로 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
$$
N_s = \frac{N \sqrt{P}}{H^{5/4}} \quad \text{(단위: $m\cdot kW$)}
$$
이 식을 통해 수차 설계 시 필요한 기준 비속도를 손쉽게 계산하고 적용할 수 있습니다.
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