반지름 (r)인 직선 도체에 전류 (I)가 흐를 때 도체 내외부의 단위길이당 자속 쇄교수

도체 내외부의 단위길이당 자속 쇄교수 문제에 대해 알아보겠습니다. 직선 도체에 전류가 흐를 때, 도체 내부와 외부에서 형성되는 자속은 도체의 반지름과 전류의 분포에 따라 달라집니다. 암페어의 주회적 법칙을 사용하여 도체의 자계를 구하고, 이를 통해 단위 길이당 자속 쇄교수를 계산할 수 있습니다. 이번 글에서는 반지름이 (r)인 직선 도체에 전류 (I)가 흐를 때 도체 내부와 외부에서 형성되는 자속과 그 쇄교수를 계산하는 방법을 설명하겠습니다.

Table of Contents

암페어의 주회적 법칙

1. 법칙의 정의

암페어의 주회적 법칙에 따르면, 임의의 폐곡면에 대한 자계 ( \mathbf{H} )의 선적분은 그 폐곡면을 관통하는 전류의 총합과 같습니다.

$
\oint \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = I_{\text{enc}}
$

여기서,

$( \mathbf{H} )$: 자계의 세기 [A/m]
$( d\mathbf{l} )$: 미소 길이 요소 [m]
$( I_{\text{enc}} )$: 폐곡면을 관통하는 전류 [A]

이 법칙을 통해 도체 내부와 외부의 자계를 계산할 수 있습니다.

도체 외부의 자속

1. 외부 자계 계산

반지름이 (r)인 직선 도체에 전류 (I)가 흐를 때, 도체 외부의 자계는 다음과 같이 계산됩니다.

$
H_{\text{ext}} = \frac{I}{2\pi r}
$

여기서 (r)은 도체로부터의 거리입니다.

2. 외부 자속 쇄교수 계산

도체 외부의 단위 길이당 자속 쇄교수 ( \Lambda_{\text{ext}} )는 자계와 면적 요소 (dA)의 곱을 전체 공간에 대해 적분하여 계산됩니다.

$
\Lambda_{\text{ext}} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \cdot 2\pi r = \mu_0 I
$

여기서,

$ \Lambda_{\text{ext}} $: 도체 외부의 자속 쇄교수 [Wb/m]
$ \mu_0 $: 자유 공간의 투자율 $(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}) H/m$

도체 내부의 자속

1. 내부 자계 계산

도체 내부에서 자계는 반지름 (r)에 비례하며, 반지름이 (a)인 원통 내에서 다음과 같이 계산됩니다.

$
H_{\text{int}} = \frac{I r}{2\pi a^2}
$

여기서,

(r): 도체 중심으로부터의 거리 [m]
(a): 도체의 반지름 [m]

2. 내부 자속 쇄교수 계산

도체 내부에서 단위 길이당 자속 쇄교수 $ \Lambda_{\text{int}} $는 자계와 면적 요소의 곱을 적분하여 계산됩니다.

$
\Lambda_{\text{int}} = \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2} \cdot 2\pi r dr = \frac{\mu_0 I r^2}{2a^2}
$

이를 전체 도체의 반지름 (a)에 대해 적분하면,

$
\Lambda_{\text{int}} = \int_0^a \frac{\mu_0 I r^2}{2a^2} dr = \frac{\mu_0 I}{6a}
$

여기서,

$ \Lambda_{\text{int}} $: 도체 내부의 자속 쇄교수 [Wb/m]

전체 자속 쇄교수

전체 도체의 단위 길이당 자속 쇄교수 $ \Lambda_{\text{total}} $는 내부와 외부 자속 쇄교수의 합으로 주어집니다.

$
\Lambda_{\text{total}} = \Lambda_{\text{int}} + \Lambda_{\text{ext}} = \frac{\mu_0 I}{6a} + \mu_0 I = \mu_0 I \left(\frac{1}{6a} + 1\right)
$

1. 총 자속 쇄교수 계산

도체의 전체 자속 쇄교수는 다음과 같이 계산됩니다.

$
\Lambda_{\text{total}} = \mu_0 I \left(\frac{7}{6a}\right)
$

결론

반지름 (r)인 직선 도체에 전류 (I)가 흐를 때, 도체 내외부에서 형성되는 자속은 각각 다른 방식으로 계산됩니다. 도체 외부에서는 자계가 거리 (r)에 반비례하며, 도체 내부에서는 자계가 거리 (r)에 비례합니다. 전체 자속 쇄교수는 내부와 외부 자속 쇄교수의 합으로 표현됩니다. 이러한 계산은 전자기학에서 자계와 전류 사이의 관계를 이해하는 데 필수적입니다.