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병렬 공진 회로의 합성 임피던스와 공진 주파수 문제의 조건
주어진 회로는 다음과 같은 구성 요소로 이루어져 있습니다:
- 저항 $R$
- 인덕턴스 $L$
- 커패시턴스 $C$
회로의 형태는 병렬 RLC 회로로, 이 회로가 공진 상태에 있을 때의 합성 임피던스와 공진 주파수를 계산해야 합니다. 공진 상태에서는 회로의 허수부가 0이 되며, 순수 저항 성분만 남는 특성을 갖습니다.
1. 병렬 공진의 합성 임피던스 구하기
(1) 어드미턴스(Y)의 계산
먼저, 병렬 회로의 합성 어드미턴스(Y)를 계산합니다. 어드미턴스는 임피던스($Z$)의 역수로 정의되며, 다음과 같이 표현할 수 있습니다:
$$
Y = \frac{1}{R} + j\omega C + \frac{1}{j\omega L}
$$
이를 정리하여, 실수부와 허수부를 각각 분리하면:
$$
Y = \frac{R – j\omega L}{R^2 + (\omega L)^2} + j\omega C
$$
위의 식을 다시 정리하면:
$$
Y = \frac{R}{R^2 + (\omega L)^2} + j \left( \omega C – \frac{\omega L}{R^2 + (\omega L)^2} \right)
$$
(2) 공진 시 어드미턴스의 허수부 조건
공진 상태에서는 허수부가 0이 되어야 합니다. 즉, 어드미턴스의 허수부가 0이 되는 조건은 다음과 같습니다:
$$
\omega C – \frac{\omega L}{R^2 + (\omega L)^2} = 0
$$
이 식을 정리하면, 공진 주파수($\omega_0$)에 대한 조건을 얻을 수 있습니다.
(3) 공진 시 합성 임피던스 $Z_{\text{eq}}$
공진 시 회로의 합성 어드미턴스는:
$$
Y_0 = \frac{R}{R^2 + (\omega L)^2} \quad \left( \text{허수부} = 0 \text{인 상태} \right)
$$
따라서, 공진 시 합성 임피던스 $Z_{\text{eq}}$는 어드미턴스의 역수로 구할 수 있습니다:
$$
Z_{\text{eq}} = \frac{1}{Y_0} = \frac{R^2 + (\omega L)^2}{R} \, [\Omega]
$$
2. 공진 주파수 구하기
(1) 공진 주파수 조건
공진 상태에서는 허수부가 0이 되어야 하므로 다음과 같은 관계식이 성립합니다:
$$
\omega C = \frac{\omega L}{R^2 + (\omega L)^2}
$$
이를 정리하여 공진 주파수($\omega_0$)를 구하면:
$$
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC – \left( \frac{R}{L} \right)^2}}
$$
(2) 공진 주파수($f_0$)
공진 주파수($f_0$)는 각속도 $\omega$와의 관계에서 다음과 같이 정의됩니다:
$$
f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{1}{LC} – \left( \frac{R}{L} \right)^2} \, [Hz]
$$
최종 결론
1. 병렬 공진 회로의 합성 임피던스:
$$
Z_{\text{eq}} = \frac{R^2 + (\omega L)^2}{R} \, [\Omega]
$$
2. 병렬 공진 회로의 공진 주파수:
$$
f_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{1}{LC} – \left( \frac{R}{L} \right)^2} \, [Hz]
$$
이를 통해 주어진 병렬 RLC 회로의 합성 임피던스와 공진 주파수를 계산할 수 있습니다.
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