선간 단락 전류 3상 단락 전류 비 0.866배임을 증명

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선간 단락 전류 3상 단락 전류 비 0.866배임을 증명하는 방법입니다. 발송배전기술사 시험에 매우 자주 출시되는 유형 중에는 발전기 기본식으로 고장 전류와 건전상의 전압을 구하는 문제가 있습니다. 이 유형은 응용 문제이므로 숙지하시기 바랍니다.

1. 선간 단락 사고 시 B상의 전류 ($I_b$)의 크기

1) 고장 조건 설정

• 선간 단락 조건:
• $I_a = 0$: A상의 전류가 0
• $V_b = V_c$: B상과 C상의 전압이 동일
• $I_b = -I_c$: B상과 C상의 전류는 서로 반대 방향으로 흐름
• 즉, $I_b$가 C상 전류의 반대 전류입니다.
• 대칭 성분 전류 표현:
  $[
  I_0 = \frac{1}{3}(I_a + I_b + I_c) = 0
  ]$
  $[
  I_1 = \frac{1}{3}(I_a + a I_b + a^2 I_c) = \frac{1}{3}(a I_b – a^2 I_b) = -\frac{1}{3}(a – a^2)I_b
  ]$
  $[
  I_2 = \frac{1}{3}(I_a + a^2 I_b + a I_c) = \frac{1}{3}(a^2 I_b – a I_b) = \frac{1}{3}(a^2 – a)I_b
  ]$

위 식에서 $a = e^{j\frac{2\pi}{3}}$는 회전 연산자입니다.

2) 전압 조건 $V_b = V_c$에 대한 관계식

$[
V_0 + a^2 V_1 + a V_2 = V_0 + a V_1 + a^2 V_2
]$

이를 정리하면:

$[
(a^2 – a)V_1 = (a – a^2)V_2 \Rightarrow V_1 = V_2
]$

3) 발전기 기본식에 적용

발전기 기본식에서:

$[
E_a – Z_1 I_1 – Z_2 I_2 = 0
]$

따라서:

$[
I_1 = \frac{E_a}{Z_1 + Z_2}
]$

4) B상의 단락 전류 계산

$[
I_b = I_0 + a^2 I_1 + a I_2 = 0 + a^2 I_1 – a I_1 = (a^2 – a) I_1
]$

$[
I_b = (a^2 – a)\frac{E_a}{Z_1 + Z_2} = -j\sqrt{3}\frac{E_a}{Z_1 + Z_2}
]$

2. 3상 단락 사고 시 B상의 전류 ($I_b$)의 크기

1) 고장 조건 설정

• 3상 단락 조건:
• $V_a = V_b = V_c = 0$: 모든 상의 전압이 0
• 모든 대칭 성분 전압이 0이므로, $V_0 = V_1 = V_2 = 0$
• 전류 조건:
  $[
  I_0 = -\frac{E_a}{3Z_0}
  ]$
  $[
  I_1 = \frac{E_a}{Z_1}
  ]$
  $[
  I_2 = \frac{E_a}{Z_2}
  ]$

2) B상의 전류 구하기

B상의 전류는 대칭 성분을 이용하여:

$[
I_b = I_0 + a^2 I_1 + a I_2
]$

이를 정리하면:

$[
I_b = -\frac{E_a}{3Z_0} + a^2 \frac{E_a}{Z_1} + a \frac{E_a}{Z_2}
]$

3. 선간 단락 전류 3상 단락 전류 비

1) 크기 비교

위의 각식을 비교하면:

$[
\frac{I_{선간}}{I_{3상}} = \frac{(a^2 – a)E_a}{2Z}
]$

이를 정리하면:

$[
= \sqrt{3} \times 0.866 \approx 1
]$

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