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스프링제본 노트 5부
1. 분포 정수 회로 개요
장거리 송전선로는 선로의 길이가 길어짐에 따라 선로 정수($R$, $L$, $C$, $G$)가 균등하게 분포된 분포 정수 회로로 취급됩니다. 이러한 회로에서는 전압과 전류의 변화를 선로의 길이에 따라 연속적으로 해석해야 하며, 전파 방정식을 사용하여 계산합니다.
1) 직렬 임피던스($Z$)와 병렬 어드미턴스($Y$)
- 직렬 임피던스 ($Z$):
$[
Z = r + j\omega l \, \, [\Omega/\text{km}]
]$
여기서 $r$: 저항 ($\Omega/\text{km}$), $l$: 인덕턴스 ($\text{H}/\text{km}$) - 병렬 어드미턴스 ($Y$):
$[
Y = g + j\omega c \, \, [\text{S}/\text{km}]
]$
여기서 $g$: 누설 콘덕턴스 ($\text{S}/\text{km}$), $c$: 정전 용량 ($\text{F}/\text{km}$)
2) 장거리 선로에서 전압 및 전류 변화
송전선로의 전체 길이에 걸쳐 직렬 임피던스와 병렬 어드미턴스가 분포하며, 송전단에서 $x$km 떨어진 미소 구간($dx$)에서의 전압 및 전류 변화는 다음과 같이 표현됩니다:
$[
dE = -I \cdot Z \cdot dx
]$
$[
dI = -E \cdot Y \cdot dx
]$
여기서:
- $dE$: 미소 구간에서 전압 강하
- $dI$: 미소 구간에서 전류 변화
3) 장거리 선로 미소 구간의 등가 회로
미소 구간($dx$)에서의 장거리 송전선로를 나타내는 등가 회로는 다음과 같습니다:
$[
\frac{dE}{dx} = -I \cdot Z
]$
$[
\frac{dI}{dx} = -E \cdot Y
]$
이를 미분하여 전파 방정식을 유도할 수 있습니다.
2. 전파 방정식의 유도
위 미소 구간에서 전압과 전류 변화에 대한 식을 미분하면, 장거리 송전선로에서의 전압과 전류에 대한 전파 방정식을 유도할 수 있습니다:
$[
\frac{d^2 E}{dx^2} = Z \cdot Y \cdot E
]$
$[
\frac{d^2 I}{dx^2} = Z \cdot Y \cdot I
]$
이 식은 송전선로에서 전압과 전류가 선로를 따라 어떻게 변화하는지를 설명하는 전파 방정식입니다. 이를 통해 송전단 전압($E_s$)과 수전단 전압($E_r$) 사이의 관계를 구할 수 있습니다.
3. 송전선로의 전압 및 전류 관계
전파 방정식을 사용하여 송전선로의 전압과 전류는 다음과 같이 표현됩니다:
$[
E_s = E_r \cdot \cosh(\gamma l) + I_r \cdot Z_0 \cdot \sinh(\gamma l)
]$
$[
I_s = \frac{E_r \cdot \sinh(\gamma l)}{Z_0} + I_r \cdot \cosh(\gamma l)
]$
여기서:
- $E_s$: 송전단 전압
- $E_r$: 수전단 전압
- $I_s$: 송전단 전류
- $I_r$: 수전단 전류
- $\gamma$: 전파 정수
- $Z_0$: 특성 임피던스
4. 파동 임피던스($Z_0$)와 전파 정수($\gamma$)
1) 파동 임피던스($Z_0$)
송전선로에서 파동이 전파될 때 전압과 전류의 비율은 파동 임피던스 또는 특성 임피던스로 정의됩니다. 이는 선로의 고유한 특성을 나타내는 값입니다:
$[
Z_0 = \sqrt{\frac{Z}{Y}} = \sqrt{\frac{r + j\omega l}{g + j\omega c}}
]$
2) 전파 정수($\gamma$)
전파 정수는 선로를 따라 전압과 전류가 어떻게 변하는지를 나타내는 값으로, 감쇠 정수($\alpha$)와 위상 정수($\beta$)로 구성됩니다:
$[
\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(r + j\omega l)(g + j\omega c)}
]$
여기서:
- $\alpha$: 감쇠 정수 (전압/전류의 크기 변화)
- $\beta$: 위상 정수 (전압/전류의 위상 변화)
결론
장거리 송전선로는 선로 정수($R$, $L$, $C$, $G$)가 선로 전체에 걸쳐 균등하게 분포된 분포 정수 회로로 해석됩니다. 이를 통해 전파 방정식과 특성 임피던스를 구할 수 있으며, 송전단과 수전단 사이의 전압, 전류 변화를 정확히 계산할 수 있습니다. 전파 정수는 선로에서의 전압, 전류의 감쇠와 위상 변화를 설명하는 중요한 값입니다.
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