3상 동기 발전기 기본식 유도 과정

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3상 동기 발전기 기본식 유도 과정은 다음의 조건들을 통해 발전기의 전압 분포와 전류 분포를 쉽게 분석할 수 있으며, 대칭 성분법을 사용하여 불평형 고장 시의 전압 및 전류 해석을 간단하게 수행할 수 있습니다.

Table of Contents

1. 3상 동기 발전기 기본식 유도 조건

3상 발전기에서 각 상의 전압과 전류는 다음과 같이 정의됩니다:
$V_a, V_b, V_c$: 각 상의 단자 전압
$E_a, E_b, E_c$: 발전기 내부 유기 기전력
$e_a, e_b, e_c$: 각 상의 전기자 전압 강하
하단의 그림과 같이 3상 발전기가 임의의 상렬 전류를 흘리고 있습니다.

2. 각 상의 단자 전압

각 상의 단자 전압은 다음과 같이 표현됩니다:

$[
V_a = E_a – e_a
]$

$[
V_b = E_b – e_b
]$

$[
V_c = E_c – e_c
]$

여기서, $e_a, e_b, e_c$는 각 상의 전기자 전압 강하입니다.

3. 대칭 성분

각 상 전압을 대칭 성분으로 분해하면 다음과 같은 식이 성립합니다:

$[
V_0 = \frac{1}{3}(V_a + V_b + V_c)
]$

$[
V_1 = \frac{1}{3}(V_a + a V_b + a^2 V_c)
]$

$[
V_2 = \frac{1}{3}(V_a + a^2 V_b + a V_c)
]$

여기서 $a = e^{j \frac{2\pi}{3}}$는 상전압의 회전 연산자입니다.

4. 유기 기전력과 대칭 성분의 관계

위 대칭 성분식에 대응하는 유기 기전력의 관계식은 다음과 같습니다:

$[
V_0 = \frac{1}{3}(E_a + a E_b + a^2 E_c) – \frac{1}{3}(e_a + e_b + e_c)
]$

$[
V_1 = \frac{1}{3}(E_a + a^2 E_b + a E_c) – \frac{1}{3}(e_a + a e_b + a^2 e_c)
]$

$[
V_2 = \frac{1}{3}(E_a + a E_b + a^2 E_c) – \frac{1}{3}(e_a + a^2 e_b + a e_c)
]$

5. 각 상의 전압 강하

각 상의 전기자 전압 강하는 다음과 같이 표현됩니다:

$[
e_a = Z_0 I_0 + Z_1 I_1 + Z_2 I_2
]$

$[
e_b = Z_0 I_0 + a^2 Z_1 I_1 + a Z_2 I_2
]$

$[
e_c = Z_0 I_0 + a Z_1 I_1 + a^2 Z_2 I_2
]$

6. 대칭 성분에 대한 전압 방정식

위 식을 대칭 성분 방정식에 대입하면:

$[
V_0 = E_0 – Z_0 I_0
]$

$[
V_1 = E_1 – Z_1 I_1
]$

$[
V_2 = E_2 – Z_2 I_2
]$

여기서, $E_0, E_1, E_2$는 각각의 영성분, 정상성분, 역상성분 기전력이며, $Z_0, Z_1, Z_2$는 각 대칭 성분의 임피던스입니다.

7. 결론

위에서 유도한 식은 3상 동기 발전기의 기본 방정식으로, 각 상의 전압과 대칭 성분 사이의 관계를 나타냅니다. 이를 통해 발전기의 전압 분포와 전류 분포를 쉽게 분석할 수 있으며, 대칭 성분법을 사용하여 불평형 고장 시의 전압 및 전류 해석을 간단하게 수행할 수 있습니다.