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스프링제본 노트 5부
문제의 조건
- 주어진 회로는 다음과 같이 구성되어 있습니다:
- 직렬 저항 $r_0$
- 병렬로 연결된 저항 $r_1$과 리액턴스 $X_1$의 직렬 임피던스 $Z_1$ 및 리액턴스 $X_2$
- 목표: 리액턴스 $X_1$에 흐르는 전류가 입력 전압 $E$와 위상 차이 없이 동상이 되도록 하는 직렬 저항 $r_0$의 값을 구합니다.
회로 분석
1. 병렬 임피던스 $Z_{\text{parallel}}$ 계산
먼저, 병렬로 연결된 부분의 임피던스를 계산합니다.
- 저항 $r_1$과 리액턴스 $X_1$이 직렬로 연결된 임피던스: $$
Z_1 = r_1 + jX_1
$$ - 리액턴스 $X_2$의 임피던스: $$
Z_2 = jX_2
$$ - 병렬 임피던스 $Z_{\text{parallel}}$는 다음과 같습니다: $$
Z_{\text{parallel}} = \frac{Z_1 \cdot Z_2}{Z_1 + Z_2}
$$
여기서 $Z_1$과 $Z_2$의 값을 대입하여 계산하면:
$$
Z_{\text{parallel}} = \frac{(r_1 + jX_1) \cdot jX_2}{(r_1 + jX_1) + jX_2}
$$
이를 전개하면 다음과 같이 표현할 수 있습니다:
$$
Z_{\text{parallel}} = \frac{j r_1 X_2 – X_1 X_2}{r_1 + j(X_1 + X_2)}
$$
2. 전체 임피던스 $Z_{\text{total}}$ 계산
전체 회로의 임피던스는 직렬 저항 $r_0$과 병렬 임피던스 $Z_{\text{parallel}}$의 합으로 표현됩니다:
$$
Z_{\text{total}} = r_0 + Z_{\text{parallel}}
$$
이를 계산하면 다음과 같습니다:
$$
Z_{\text{total}} = r_0 + \frac{j r_1 X_2 – X_1 X_2}{r_1 + j(X_1 + X_2)}
$$
전체 임피던스를 실수부와 허수부로 나누면:
$$
Z_{\text{total}} = \frac{(r_0 r_1 – X_1 X_2) + j(r_0 X_1 + r_0 X_2 + r_1 X_2)}{r_1 + j(X_1 + X_2)}
$$
3. 전압 $E$와 전류 $I_1$이 동상이 되기 위한 조건
전압 $E$와 리액턴스 $X_1$에 흐르는 전류 $I_1$이 동상이 되기 위해서는, 전체 임피던스의 허수부가 0이 되어야 합니다. 이를 위해서는 분모의 실수부가 0이 되어야 하며, 다음의 조건을 만족해야 합니다:
$$
r_0 r_1 – X_1 X_2 = 0
$$
4. 직렬 저항 $r_0$의 값 계산
위의 조건을 만족하도록 직렬 저항 $r_0$의 값을 구하면:
$$
r_0 = \frac{X_1 X_2}{r_1}
$$
최종 결론
주어진 회로에서 리액턴스 $X_1$에 흐르는 전류가 전압 $E$와 동상이 되도록 하기 위해 직렬 저항 $r_0$의 값은 다음과 같습니다:
$$
r_0 = \frac{X_1 X_2}{r_1}
$$
요약
- 병렬 임피던스 $Z_{\text{parallel}}$ 계산
- 전체 회로 임피던스 $Z_{\text{total}}$ 계산
- 전류 $I_1$이 전압 $E$와 동상이 되기 위한 조건: $r_0 r_1 – X_1 X_2 = 0$
- 최종 값: $r_0 = \frac{X_1 X_2}{r_1}$
이를 통해, 주어진 조건을 만족하는 직렬 저항 $r_0$의 값을 찾을 수 있습니다.
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